$\sum\limits_{r = 0}^{15} {\left( {{}^{15}{C_r} \cdot {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{20}{C_r} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_r}} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = ^{16 - x}C_{2x - 1} + ^{20 - 3x}P_{4x - 5}$ का प्रांत,जहाँ प्रतीकों के अपने सामान्य अर्थ हैं,वह समुच्चय है

केवल $4, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई और $6$ से विभाज्य छह अंकों की कुल संख्याएँ $.........$ हैं.

मान लीजिए $x$ एक थैले से कम से कम एक गेंद चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिसमें $3$ समान लाल गेंदें,$4$ समान नीली गेंदें और $5$ समान हरी गेंदें हैं। मान लीजिए $y$ उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनसे एक छात्र परीक्षा में अनुत्तीर्ण (fail) हो सकता है,जब उसे $5$ अलग-अलग विषयों में परीक्षा देनी हो। तो $x+y=$

एक प्रश्न पत्र में तीन खंड हैं,प्रत्येक में $4$ प्रश्न हैं। यदि एक उम्मीदवार को किसी भी खंड को छोड़े बिना इस प्रश्न पत्र से केवल $5$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,तो उम्मीदवार कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

अंकों $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ का उपयोग करके $50000$ से बड़ी ऐसी कितनी $5$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं कि उनके पहले और अंतिम अंक का योग $8$ से अधिक न हो?